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二叉树

1. 基本概念​

1.1 树​

树形结构是一中一对多的结构，而之前的链式结构是一对一的。

树（Tree）是 n (n >=0) 个结点的有限集合。n=0 时称为空树。

在任意一棵非空树中：

  • 有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点。
  • 当 n>1 时，其余结点可分为 m(m>0) 个互不相交的有限集。
  • 每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。

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1.2 结点分类​

  • 结点拥有的子树称为结点的度（Degree）。
  • 度为 0 的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点。度不为 0 的结点称为非终端结点或分支结点。
  • 分支结点也叫做内部结点（除根结点）。
  • 树的度是树内各结点的度的最大值。

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1.3 结点间关系​

  • 结点的子树的根被称为该结点的孩子，该结点称为孩子的双亲。
  • 同一个双亲的孩子之间互称兄弟。
  • 结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。
  • 以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。

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2. 二叉树概念​

2.1 二叉树特点​

  • 二叉树(Binary Tree)，是一种树型结构，它的特点是每个结点至多只有两棵子树，并且二叉树的子树有左右之分，其次序不能颠倒。

  • 二叉树有基本五种形态：空二叉树、只有一个根节点、根结点只有左子树、根结点只有右子树、根结点既有左子树也有右子树。

  • 三个结点二叉树也是有五种形态的，因为二叉树是区分左右顺序的。

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2.2 特殊二叉树​

斜树​

  • 左斜树：所有的结点都只有左子树。
  • 右斜树：所有的结点都只有右子树。

满二叉树​

  • 所有的分支结点都存在左子树和右子树。

  • 叶子只能出现在最下一层，出现在其他层不能达成平衡。

  • 非叶子结点的度一定是2。

  • 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子树最多。

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完全二叉树​

  • 除去最后一层后就变成满二叉树。
  • 最后一层的结点必须依次从左往右边排。
  • 叶子结点只能出现在最下两层。
  • 最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
  • 倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
  • 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，不存在右子树的情况。
  • 同样结点树的二叉树，完全二叉树深度最小。

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2.4 二叉树的性质​

  • 在二叉树的第 i 层上至多有 2^( i-1 ) 个结点（i >= 1）。
  • 深度为 k 的二叉树至多有 ( 2^k ) - 1 个结点。
  • 任何一颗二叉树 T，如果其终端结点树为 n0，度为 2 的结点树为 n2，则 n0 = n2 + 1。
  • 具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 ( log2n )+1 向下取整。
  • 若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点：
    • 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲。否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
    • 若 2i>n，则该结点无左孩子。否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
    • 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点。否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

2.5 二叉树的存储结构​

二叉树的存储结构有一样有顺序存储和线性存储。

  • 顺序存储结构

二叉树的顺序存储结构就是把一个普通的二叉树，填补成一棵完全二叉树，然后自上而下，自左到右，按1到n编号，然后依次把数据保存到数组里。

顺序存储结构的二叉树会对存储空间造成极大的浪费，所以顺序存储结构一般只用于完全二叉树。

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  • 链式存储结构

链式存储结构就是利用指针的指向关系把每个结点链接起来，以构成逻辑上的树状结构，可以更合理的利用内存空间。所以它也叫做二叉链表。

2.6 二叉树的遍历​

二叉树的遍历（traversing binary tree）是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

二叉树的遍历有四种方式：

  • 前序遍历

规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再谦前序遍历右子树，如图遍历顺序为：ABDGHCEIF。

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  • 中序遍历

规则是若树木为空，则空操作返回，否则从根结点开始（不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后遍历右子树木。如图遍历顺序为：GDHBAEICF。

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  • 后序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。如图遍历顺序为：GHDBIEFCA。

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  • 层序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。

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冒泡排序​

冒泡排序是一种简单的交换排序。

基本思想是：两两比较相邻记录的关键字，如果反序则交换，直到没有反序的记录为止。

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